- no title specified

●Orain arte: Gorputz finituak puntualak bailiren.
●Gai honetan: Partikula askok osatutako sistemak
●Hurrengo gaian: Solido zurrunak

SISTEMA DISKRETU BATEN MASA-ZENTROA (MZ)

{\vec{r}}_{MZ} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} m_{i} \vec{r_{i}}}{Σ_{i = 1}^{N} m_{i}} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} m_{i} \vec{r_{i}}}{M}

M = Σ_{i} m_{i}

Sistema osoaren masa

GORPUTZ JARRAITU BATEN MASA-ZENTROA (MZ)

{\vec{r}}_{MZ} = \frac{\int \vec{r} dm}{\int dm} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm

Adib: M masako eta L luzerako barra uniforme baten MZ?

λ = \frac{M}{L}

dm = \frac{M}{L} dx = λ dx

\begin{matrix} x_{MZ} = \frac{1}{M} \int x dm = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x λ dx = \frac{λ}{M} {[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{L} \\ x_{MZ} = \frac{M}{L} \frac{1}{M} \frac{1}{2} L^{2} = \frac{1}{2} L \end{matrix}

Ariketak: 2,3

PARTIKULA-SISTEMA BATEN MZ-aren HIGIDURA

MZ-aren ABIADURA

{\vec{v}}_{MZ} = \frac{d {\vec{r}}_{MZ}}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{Σ_{i} m_{i} \vec{r_{i}}}{M}) = \frac{Σ_{i} m_{i} \frac{d \vec{r_{i}}}{dt}}{M} = \frac{Σ_{i} m_{i} \vec{v_{i}}}{M}

SISTEMA OSOAREN MOMENTU LINEALA

i partikularen momentu lineala

\vec{p_{i}} = m_{i} \vec{v_{i}}

Gainezarmen printzipioa:

\vec{P} = Σ_{i} \vec{p_{i}} = Σ_{i} m_{i} \vec{v_{i}} = M {\vec{v}}_{MZ}

Sistemaren masa guztia MZ-an bildurik bailegoen

\vec{P} = M {\vec{v}}_{MZ}

MZ-aren AZELERAZIOA ETA INDARRAK

Adib: 2 partikulaz osaturiko sistema:

\vec{F_{1,}} \vec{F_{2}}

\vec{F_{12}}, \vec{F_{21}}

Kanpo indarrak

Barne indarrak eta N3 betetzen dute

\vec{F_{12}} = - \vec{F_{21}}

ES inertzial batean:

\frac{d {\vec{p}}_{1}}{dt} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{12}}

\frac{d {\vec{p}}_{2}}{dt} = \vec{F_{2}} + \vec{F_{21}}

\frac{d \vec{P}}{dt} = \frac{d {\vec{p}}_{1}}{dt} + \frac{d {\vec{p}}_{2}}{dt} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{12}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{21}} = {\vec{F}}_{kanpo}

Ariketak: 6,9

ERREFERENTZIAL PROPIOA (MZ-aren ES)

MZ-arekin batera mugitzen dena.

Notazioa: Hig. erlatiboan bezala: MZ-tik neurtzen ditugun magnitudeak “primatuta”.

\vec{r}'_{MZ} = \vec{v}'_{MZ} = \vec{a}'_{MZ} = 0

\vec{P}' = 0

Σ_{i} m_{i} \vec{v}'_{i} = 0

BI GORPUTZEN PROBLEMA. MASA LABURBILDUA.

Bi gorputzek osatutako sistema isolatua (Fkanpo=0). Barne indarrak daude soilik, akzio-erreakzio legea betetzen dute eta 2 partikulak lotzen dituen zuzenaren norabidea dute.

ESI batean:

m_{1} \frac{d \vec{v_{1}}}{dt} = \vec{F_{12}}

m_{2} \frac{d \vec{v_{2}}}{dt} = \vec{F_{21}}

μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1}}{\frac{m_{1}}{m_{2}} + 1} \approx m_{1}

Kasu batzuetan, partikula baten masa bestearena baino askoz handiagoa denean, partikula handiarekin doan ES inertzialtzat har daiteke

m_{2} ≫ m_{1}

\vec{F_{12}} = μ {\vec{a}}_{12} \Rightarrow \vec{F_{12}} \approx m_{1} {\vec{a}}_{12}

Sistema isolatua denez:

\vec{P} = kte \Rightarrow \vec{p_{1}} = - \vec{p_{2}}

∣ m_{1} a_{1} ∣ = ∣ m_{2} a_{2} ∣ \Rightarrow \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{∣ a_{2} ∣}{∣ a_{1} ∣} \to 0 \Rightarrow ∣ a_{2} ∣ \to 0

2. partikula ES inertzialtzat har daiteke eta hortik m1-en higidura azter dezakegu bere gainean eragiten duen elkarrakzio indarraren ondorioz

MOMENTU ANGELUARRAREN TEOREMA

Partikula puntuala:

\vec{M} = \frac{d \vec{L}}{dt}

Partikula sisteman?

\vec{L} = Σ_{i} \vec{L_{i}} = Σ_{i} \vec{r_{i}} \land \vec{p_{i}}

t-rekiko aldakuntza?

\vec{F_{1,}} \vec{F_{2}}

\vec{F_{12}}, \vec{F_{21}}

Kanpo indarrak

Barne indarrak eta N3 betetzen dute

0

\frac{d \vec{L_{1}}}{dt} = \vec{M_{1}}; \frac{d \vec{L_{2}}}{dt} = \vec{M_{2}}

\frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt} (\vec{L_{1}} + \vec{L_{2}}) = \vec{M_{1}} + \vec{M_{2}}

\vec{M_{1}} = \vec{r_{1}} \land (\vec{F_{1}} + \vec{F_{12}}) = \vec{r_{1}} \land \vec{F_{1}} + \vec{r_{1}} \land \vec{F_{12}}

\vec{M_{2}} = \vec{r_{2}} \land (\vec{F_{2}} + \vec{F_{21}}) = \vec{r_{2}} \land \vec{F_{2}} + \vec{r_{2}} \land \vec{F_{21}}

PARTIKULA-SISTEMA BATEN ENERGIA ZINETIKOA ETA ENERGIA POTENTZIALA

Sistema isolatua

{\vec{F}}_{kanpo} = 0 \Rightarrow \vec{P} = kte

Barne indarrek ezin dute momentu lineala aldatu, baina ez kontserbatzaileak izan daitezke eta orduan sistema osoaren Em alda daiteke

Adib:

m_{e} = 35 kg

m_{g} = 70 kg

v_{g} = 0,3 m / s

Σ {\vec{F}}_{kanpo} = 0 \Rightarrow \vec{P} = kte

0 = m_{e} \vec{v_{e}} + m_{g} \vec{v_{g}}

Hasieran geldi

SISTEMAREN ENERGIA ZINETIKOA

Partikulen energia zinetikoaren batura

E_{k} = Σ_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}

Beste era bat: MZ-ko koordenatuen bidez

\vec{v_{i}} = \vec{v_{MZ}} + \vec{v_{i}}'

v_{i}^{2} = \vec{v_{i}} \cdot \vec{v_{i}} = (\vec{v_{MZ}} + \vec{v_{i}}') \cdot (\vec{v_{MZ}} + \vec{v_{i}}')

E_{k} = Σ_{i} \frac{1}{2} m_{i} (\vec{v_{MZ}} + \vec{v_{i}}') \cdot (\vec{v_{MZ}} + \vec{v_{i}}') = (a) + (b) + (c)

(a) = Σ_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{MZ}^{2} = \frac{1}{2} v_{MZ}^{2} Σ_{i} m_{i} = \frac{1}{2} M v_{MZ}^{2}

(b) = Σ_{i} m_{i} {\vec{v}}_{MZ} \cdot \vec{v_{i}}' = {\vec{v}}_{MZ} \cdot Σ_{i} m_{i} \vec{v_{i}}' = {\vec{v}}_{MZ} 0 = 0

(c) = Σ_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}'

E_{k} = \frac{1}{2} M v_{MZ}^{2} + Σ_{i} \frac{1}{2} m_{i} \vec{v_{i}}'^{2}

MZ-aren energia zinetikoa masa osoa MZ-an bildurik egongo balitz bezala

Zein da indarrek egiten duten lanaren eta energia zinetikoaren arteko erlazioa?

\vec{F_{1,}} \vec{F_{2}}

\vec{F_{12}}, \vec{F_{21}}

Kanpo indarrak

Barne indarrak eta N3 betetzen dute

W = \int_{A (I1)}^{B} (\vec{F_{1}} + \vec{F_{12}}) \cdot d \vec{r_{1}} + \int_{A (I2)}^{B} (\vec{F_{2}} + \vec{F_{21}}) \cdot d \vec{r_{2}}

W_{kanpo} = \int_{A (I1)}^{B} \vec{F_{1}} \cdot d \vec{r_{1}} + \int_{A (I2)}^{B} \vec{F_{2}} \cdot d \vec{r_{2}}

\begin{matrix} W_{barne} = \int_{A (I1)}^{B} \vec{F_{12}} \cdot d \vec{r_{1}} + \int_{A (I2)}^{B} \vec{F_{21}} \cdot d \vec{r_{2}} = \\ = \int_{A}^{B} \vec{F_{12}} \cdot (d \vec{r_{1}} - d \vec{r_{2}}) = \int_{A}^{B} \vec{F_{12}} \cdot d \vec{r_{12}} \end{matrix}

W = W_{kanpo} + W_{barne}

\begin{matrix} \vec{F_{1}} + \vec{F_{12}} = m_{1} \vec{a_{1}} \\ \vec{F_{2}} + \vec{F_{21}} = m_{2} \vec{a_{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} W = \int_{A}^{B} (\vec{F_{1}} + \vec{F_{12}}) \cdot d \vec{r_{1}} + \int_{A}^{B} (\vec{F_{2}} + \vec{F_{21}}) \cdot d \vec{r_{2}} = \int_{A}^{B} m_{1} \vec{a_{1}} \cdot d \vec{r_{1}} + \int_{A}^{B} m_{2} \vec{a_{2}} \cdot d \vec{r_{2}} \\ = \int_{A}^{B} m_{1} \frac{d \vec{v_{1}}}{dt} \cdot \vec{v_{1}} dt + \int_{A}^{B} m_{2} \frac{d \vec{v_{2}}}{dt} \cdot \vec{v_{2}} dt = {[\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}]}_{A}^{B} = E_{kB} - E_{kA} \end{matrix}

Zertan inbertitzen da lan hau?

W_{kanpo} + W_{barne} = E_{kB} - E_{kA} = Δ E_{k}

Sistema osoaren Ek aldatzen

Eta kanpo eta barne indarrak kontserbatzaileak badira?

Sistema osoaren Em kontserbatzen da

Eta indarren bat ez bada kontserbatzailea?

W_{ezkont} = Δ E_{m}

Ariketak: 8

TALKAK

Objektu bien higidurak aldatzen dituen indarrak oso denbora laburrean eragiten du. (BULKADA-INDARRA).

Zein da indarraren eragina gorputzen gainean?

\vec{J} = \int_{t_{o}}^{t} \vec{F} dt

\vec{J} = \int_{t_{o}}^{t} \vec{F} dt = \int_{t_{o}}^{t} (\frac{d \vec{p}}{dt}) dt = \vec{p} (t) - \vec{p} (t_{0}) = Δ \vec{p}

Gorputzaren momentu lineala aldatzen du

\vec{J} = \vec{F_{bb}} Δ t

Δ \vec{p} = \vec{F_{bb}} Δ t

Batez besteko indarra denbora tarte berdinean azalera berdina

\vec{F_{bb}}

●Talkak dirauen bitartean kanpo indarrak 2 gorputzen arteko barne indarrak baino txikiagoak dira:

F_{kanpo} ≪ F_{barne}

●Gorputzak isolatuak egongo balira har daitezke

●Kanpo indarren lana arbuiagarria da

W_{barne} = E_{kB} - E_{kA}

Barne indarren lanaren arabera (edo sistemaren Ek-ren aldakuntzaren arabera) talkak izan daitezke:

● Elastikoa: Energia zinetikoa kontserbatzen da
● Inelastikoa:

Ek' aldatzen da, baina EkMZ ez, P=kte delako

- - ●Guztiz inelastikoa:
    Ek' guztia galtzen da eta bi gorputzak itsatsita geratzen dira (MZ)

W_{barne} = 0 \Rightarrow E_{kB} = E_{kA}

W_{barne} \neq 0 \Rightarrow E_{kB} \neq E_{kA}

E_{k} = E_{k MZ} + E_{k}'

a) TALKA GUZTIZ INELASTIKOA (AURREZ AURREKOA)

\vec{P} = kte : m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}} = (m_{1} + m_{2}) \vec{V}

TALKAK DIMENTSIO BATEAN

Pendulu balistikoa

m_{1} \approx m_{2} eta \vec{v_{1}} = - \vec{v_{2}}

\vec{V} = 0

Leherketak: Talka inelastikoa atzekoz aurrera filmatuta

b) TALKA ELASTIKOA (AURREZ AURREKOA)

E_{k} = kte : \frac{1}{2} m_{1} {\vec{v}}_{1h}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\vec{v}}_{2h}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} {\vec{v}}_{1b}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\vec{v}}_{2b}^{2}

\vec{P} = kte : m_{1} {\vec{v}}_{1h} + m_{2} {\vec{v}}_{2h} = m_{1} {\vec{v}}_{1b} + m_{2} {\vec{v}}_{2b}

m_{1} ({\vec{v}}_{1h} - {\vec{v}}_{1b}) = m_{2} ({\vec{v}}_{2b} - {\vec{v}}_{2h})

m_{1} ({\vec{v}}_{1h}^{2} - {\vec{v}}_{1b}^{2}) = m_{2} ({\vec{v}}_{2b}^{2} - {\vec{v}}_{2h}^{2})

Adib: Kalkulatu aurrez aurreko talka elastiko horren bukaerako abiadurak

c) TALKA INELASTIKOA (AURREZ AURREKOA)

Abiadura erlatiboak inbertitzen dira talkaren ondoren

TALKAK 2 eta 3 DIMENTSIOTAN

E_{k} = kte : \frac{1}{2} m_{1} {\vec{v}}_{1h}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\vec{v}}_{2h}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} {\vec{v}}_{1b}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\vec{v}}_{2b}^{2}

\vec{P} = kte : m_{1} {\vec{v}}_{1h} + m_{2} {\vec{v}}_{2h} = m_{1} {\vec{v}}_{1b} + m_{2} {\vec{v}}_{2b}

Eta elastikoa bada...

Ariketak: 7,10-12,14

TALKAK MASA ZENTROKO ERREFERENTZIA-SISTEMAN (edo zero momentuko erreferentzia-sisteman)

Talken azterketa asko errazten da MZ-ko ES-n.

Laborategiko ES:

\vec{P} = kte : m_{1} {\vec{v}}_{1h} + m_{2} {\vec{v}}_{2h} = m_{1} {\vec{v}}_{1b} + m_{2} {\vec{v}}_{2b}

MZ-ko ES:

\vec{P}' = kte = 0 : m_{1} {\vec{v}'}_{1h} + m_{2} {\vec{v}'}_{2h} = 0

a) TALKA GUZTIZ INELASTIKOA (MZ-ko ES-an)

Partikulak itsatsita (MZ-an). Geldi (MZ-tik ikusita). Energia guztia galtzen dute (Adib. energia termiko bihurtuta)

b) TALKA ELASTIKOA (MZ-ko ES-an)

b1) Dimentsio batean:

Partikulek euren abiaduraren noranzkoa inbertitzen dute baina modulua ez da aldatzen

Adib: Kalkulatu talka elastiko horren bukaerako abiadurak MZ-ko ES erabiliz

b2) Bi dimentsiotan:

Partikulen abiaduraren modulua ez da aldatzen

Adib: m masako partikula v abiaduraz bidaiatzen du x ardatzaren noranzko positiboan eta geldi dagoen 2m masako partikularekin talka elastikoa egiten du. Partikula arinena 30º desbideratzen da. Zeintzuk dira partikulen bukaerako abiadurak (norabidea eta modulua) laborategiko ES-an?

Adib: m1=m2 eta v2=0. Erakutsi partikulek abiadura elkar aldatzen dutela

Ariketak: 13

Higidura zirkularreko “talkak”

Demagun higidura zirkularrean mugitzen den masa puntuala.

Neskatxo bat zabuan makurtu da, eta bere aitonak B' punturaino altxatu du neskatxoaren masa-zentroa. Makurtuta dagoenean, bere masa-zentrotik soka zintzilikatuta dagoen O punturainoko distantzia 3.7 m da. Ondoren, aitonak bilobatxoa askatzen du (bultzatu gabe) eta, bertikalean dagoenean, neskatxoak hankak luzatzen ditu bat-batean. Hankak luzatzean, bere masa-zentroak hasierako 1.2 m-ko altuera berreskuratzen du. Zein da bere ibilbideko punturik gorenera ailegatzean masa-zentroaren h altuera? Oharra: Neska masa puntualtzat hartu, zabua eta sokak masagabeak dira.

III

I-etik II-ra E kontserbatzen da (indarrek ez dute lanik egiten

edo kontserbatzaileak dira).

{mgh}_{B'} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + {mgh}_{B} \Rightarrow v_{B} = \sqrt{2 g (h_{B'} - h_{B})}

∣ \vec{L_{B}} ∣ = ∣ \vec{L_{B'}} ∣ \Rightarrow m r_{B} v_{B} = m r_{B'} v_{B'} \Rightarrow v_{B'} = \frac{r_{B}}{r_{B'}} \sqrt{2 g (h_{B'} - h_{B})}

III-tik IV-ra indarrek ez dute lanik egiten (edo kontserbatzaileak dira) eta energia kontserbatzen da.

m g h = {mgh}_{B'} + \frac{1}{2} m v_{B'}^{2} \Rightarrow h = h_{B'} + \frac{(h_{B'} - h_{B}) r_{B}^{2}}{r_{B'}^{2}}

\sum {\vec{F}}_{kanpo} \neq 0 eta \sum {\vec{M}}_{kanpo} = 0 \Rightarrow \vec{L} = kte

ez da beti kontserbatzen

\vec{L}

Satelite bat orbita eliptikoan eta koheteak pizten ditu

norabide tangentzialean: Koheteen indarraren momentua

ez da nulua eta momentu angeluarra EZ da kontserbatzen.

ESPERIMENTUAK PARTIKULA-AZELERAGAILUETAN. PARTIKULEN SORKUNTZA

Oinarrizko partikulen azterketa (oso distantzia txikietan).

Energia handiko (GeV) partikulen arteko talkak sortu azeleragailuetan eta azterketa detektagailuetan egin.

Partikula berriak ezegonkorrak izan daitezke, eta hain azkar desintegratzen dira non desintegrazioaren emaitzak soilik ikus daitezkeen.

●Itu finkoko aparatuak: MZ-ren momentua ez-nulua da eta talkaren ondoren konstante irauten du. Energia erasotzailearen kantitate handi bat MZ-aren higiduran gertatzen da eta ez partikula-sorreran erabiltzen.
●Talka eragingailuak: Sistemaren MZ azeleragailuarekiko pausagunean egoten da eta energia osoa partikulen sorreraren prozesura joaten da.

Adib: protoi sorta Emin=3400GeV + antiprotoi sorta geldi “=”
protoi sorta Emin=40GeV + antiprotoi sorta Emin=40 GeV

Partikulen Fisikako Laborategi Europearra. CERN-eko elektroi/positroi talka-eragingailu handiak 27 km-ko perimetroa du. Geneva (Suitza).

Partikula-azeleragailuetan partikula kargatu egonkor bat eremu elektriko baten bidez azeleratzen da. Eremu magnetiko batek partikula azeleratuen sortak segitzen duen ibilbidea kontrolatzen du.

Bi sortak kontrolatzea ez da zaila. Eremu elektriko berberak erabil daitezke partikula eta antipartikula azeleratzeko kontrako noranzkoetan.